Dado um conjunto com n elementos distintos deseja-se determinar todos os possíveis agrupamentos de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos.
No exemplo 3 discutiu-se o problema de contar todas as possibilidades para os quatro últimos dígitos de um número de telefone sem dígitos repetidos, neste problema o número 1259 não é igual ao número 2951, já que a ordem dos quatro dígitos é importante. Cada um desses números é um arranjo de 4 objetos distintos escolhidos em um conjunto de 10 objetos distintos (os dígitos). Quantos arranjos existem? A resposta encontrada usando-se o princípio da multiplicação, é 10 . 9 . 8 . 7 – existem 10 escolhas possíveis para o primeiro dígito, depois 9 para o segundo, já que não são permitidas repetições, 8 para o terceiro dígito e 7 para o quarto. O número de arranjos de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos é denotado por A(n,r). Portanto, a solução do problema dos números de quatro dígitos sem repetição pode ser expressa por A(10,4).
Pode-se escrever uma fórmula para A(n,r) usando-se a função fatorial.
Da definição de n! vemos que
n! = n(n-1)!
Para n 
r,
= n(n-1) .... (n-r+1)
Usando a função fatorial,
Em geral, A(n,r) é dado pela fórmula
Exemplo 6
O valor de A(7,3) é 
Exemplo 7
O número de arranjos de 3 objetos, digamos a,b e c é dado por
A(3,3) = 3!/0! = 3.2.1 = 6. Logo após, veremos que se r = n temos Permutações
Exemplo 8
Dez atletas competem em um evento olímpico. São dadas medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras podem ser dadas as medalhas?
A ordem é importante; dados três vencedores A,B e C, o resultado A – ouro, B – prata, C – bronze é diferente do resultado C – ouro, A – prata, B – bronze. Queremos portanto, o número de arranjos ordenados de três objetos de um conjunto de 10, ou A(10,3). Usando a fórmula A(n,r) temos, A(10,3) = 10!/7! = 10.9.8 = 720.
Exemplo 9
Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?
A(n,k) = n!/(n-k)!, n=26, k=3
Resposta: A(26,3) = 26!/23! = 26.25.24.23!/23! = 26.25.24 = 15600