Tabela-verdade, contradição e tautologia

O valor de uma proposição composta pode ser determinado, a partir dos valores lógicos das proposições simples e dos conectivos utilizados. Um modo sistemático de fazer isso é a utilização de uma tabela-verdade com todas as possíveis combinações entre os valores lógicos das proposições componentes e com o correspondente valor lógico da proposição composta.

Exemplos:

a) A tabela-verdade da proposição p~q (conjunção da proposição p com a negação de uma proposição q) é feita da seguinte maneira:

p	q	~ q	p~ q
V	V	F	F
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	F

A primeira linha da tabela afirma que, sendo p verdadeira e q verdadeira, então ~q será falsa. Como conseqüência, a conjunção p~q será falsa. As demais linhas têm significados análogos e examinam todas as outras possibilidades.

b) Pela determinação dos possíveis valores lógicos de ~p~q, obtem-se a tabela-verdade:

p	q	~p	~q	~p~q
V	V	F	F	F
V	F	F	V	V
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Comentário: ~p~q é verdadeira somente quando ~p ou ~q for verdadeira.

c) A tabela-verdade de p~p:

p	~p	p~p
V	F	F
F	V	F

De fato, uma proposição como p~p é evidentemente contraditória, visto que uma proposição e a sua negação não podem ser verdadeiras simultaneamente. Afirmar que “Hoje é domingo e hoje não é domingo” é, naturalmente, uma contradição.

d) Vamos construir a tabela-verdade de p~p.

p	~p	p~p
V	F	V
F	V	V

Observa-se na tabela-verdade que independente da proposição p, a disjunção p~p apresenta o valor lógico V.

Quando uma proposição composta apresenta apenas V na última coluna ela é chamada de TAUTOLOGIA. A proposição “O céu está claro ou não está” é uma afirmação desse tipo, ou seja, é uma tautologia.

Como uma tautologia é sempre verdadeira, a negação de uma tautologia é sempre falsa, isto é, uma CONTRADIÇÃO e vice-versa.

e) A negação da proposição ~p afirma o mesmo que p, isto é, a negação da negação de p é logicamente equivalente a p.

Escreve-se: ~(~p)p

( lê-se: “logicamente equivalente”)

p: “A Lua é um satélite da Terra”

~p: “A Lua não é um satélite da Terra”

~(~p) : “Não é verdade que a Lua não é um satélite da Terra”

Portanto: ~(~p) p.