Matemática Discreta Unidade B - Lógica

Conectivo  E                       

Quando duas proposições simples são ligadas pela conjunção E, a proposição composta resultante é chamada conjunção das proposições simples. Se p e q são proposições, então a conjunção das duas é representada por  pq.

O conectivo E traduz a idéia de simultaneidade. Assim, uma proposição do tipo pq é verdadeira apenas quando p e q  são verdadeiras simultaneamente; em qualquer outro caso,   pq é falsa.

Exemplo: Seja p “Está chovendo” e seja q “O sol está brilhando”.

Assim, pq corresponde à proposição  “Está chovendo e o sol está brilhando”. Nesse exemplo, não é possível afirmar se é falsa ou verdadeira, pois dependerá das condições do clima.

Exemplo: “Berlim situa-se na África e a África tem uma população predominantemente negra.” Trata-se de uma proposição falsa, uma vez que a primeira proposição componente é falsa.

OBSERVAÇÃO

A seguinte tabela permite determinar, de forma geral, o valor lógico da proposição pq. A primeira linha é uma maneira abreviada de dizer que se p é verdadeira e q também é verdadeira, então pq é verdadeira.

p q p^q V V V V F F F V F F F F

Repetindo: A proposição p^q é sempre verdadeira apenas quando p e q são simultaneamente verdadeiras, caso contrario, é falsa.

Uma tabela desse tipo, que prevê todas as possibilidades para o valor lógico de uma proposição composta, a partir dos valores lógicos das componentes e dos conectivos, é chamada tabela-verdade.

Exemplo: O símbolo pode ser usado para definir a intersecção de dois conjuntos, especificamente:

AB = {x / xA  xB} = {x / xA e xB}

Conectivo OU

Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “OU” para formar uma nova proposição que é chamada de disjunção das duas proposições originais. Para a disjunção das proposições p e q é designada por  pq.                

Exemplos

a) “Os alunos dessa escola jogam basquete OU tênis”

b) “Irei ao baile OU ao estádio”

Enquanto a segunda PROPOSIÇÃO COMPOSTA contém uma idéia de exclusão, o mesmo não ocorre com a primeira, nela, a idéia que se pretende transmitir é a de que pelo menos uma das proposições componentes é verdadeira, nada impedindo que ambas sejam simultaneamente.

É nesse sentido, não exclusivo, que o OU seja utilizado, sistematicamente.

A proposição pq  é verdadeira quando pelo menos uma das proposições componentes é verdadeira, sendo falsa apenas quando ambas forem, simultaneamente, falsas. Podemos resumir isso na tabela-verdade:   p q pq V V V V F V F V V F F F

 

Exemplo: Seja p “Está fazendo muito calor" e seja q “Estou com sede”, então a sentença verbal que descreve a proposição pq  é: “Está fazendo muito calor ou estou com sede”.

Exemplo: O símbolo pode ser usado para definir a união de dois conjuntos, especificamente:

AB = {x / xA xB} = {x / xA ou xB}

Negação (~P)

Uma proposição p ou é verdadeira ou é falsa, não havendo outra possibilidade. Quando p é verdadeira, a sua negação, representada por ~ p, é falsa; inversamente, se p é falsa, ~ p é verdadeira.

A seguinte tabela-verdade resume esta propriedade:

p	~ p
V	F
F	V

Exemplos:

a) p: Buenos Aires é a capital do Brasil. (F)  

~p: Buenos Aires não é a capital do Brasil. (V)

b) p: 7 é um número primo. (V)

~p: 7 não é um número primo. (F)

c) p: 53 – 4 = 20 (F)

~p: 53 – 4  20 (V)

Atividade 1

Vamos revisar os conectivos vistos até aqui, completando a seguinte tabela-verdade com as opções V ou F.

p	q	~p	~q	p^(~q)	q(~p)
V	V
V	F
F	V
F	F

Proposições Condicionais

Muitas proposições, especialmente em matemática, são da forma “se p, então q”. Tais proposições são denominadas proposições condicionais e representamos simbolicamente por p q. Neste caso, p é denominado premissa e q conclusão.

Exemplos:

a) Se o Internacional ganha esta partida, então ele é o campeão.

b) Se o Presidente da República tem razão, então dias melhores virão.

c) Se a < b então 2a < a + b.

d) Se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come.

e) Se não chover, eu volto pra te buscar.

 

Examinemos a primeira proposição:

p: O Internacional ganha esta partida.

q: O Internacional é o campeão.

Temos simbolicamente: p q. Esta afirmação garante que se “o Internacional ganha esta partida” (p verdadeira), então “ele é o campeão” (q verdadeira), mas não informa o que sucederá se o Internacional não ganhar esta partida (p falsa). Nesse caso, ele poderá ser campeão ou não, sem negar a proposição p q.

Uma proposição do tipo p q, só é falsa se tivermos p verdadeira e q falsa; em qualquer outro caso, ela é verdadeira.

Temos a seguinte tabela-verdade que expressa esses casos:

p	q	pq
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Atividade 2

Complete a seguinte tabela-verdade:

p	q	~p	~q	~p~q
V	V
V	F
F	V
F	F

Observe que na penúltima linha temos uma premissa ~p (Verdadeira) e uma conclusão ~q (Falsa). Nesse caso, a condicional ~p~q é Falsa e nos outros casos é Verdadeira.

Proposições Bicondicionais

Uma outra proposição comum é a da forma “p se, e somente se, q”, representada por pq . Essas proposições são chamadas PROPOSIÇÕES BICONDICIONAIS.

A bicondição reflete a noção de condição “nos dois sentidos”, ou seja, considera-se simultaneamente:

• sentido de “ida” - p é premissa e q é conclusão;
• sentido de “volta” - q é premissa e p é conclusão.

A veracidade de pq satisfaz a seguinte propriedade: Se as proposições p e q são simultaneamente verdadeiras ou falsas, então  pq é verdadeira;  em qualquer outra situação,  a proposição bicondicional é falsa.

A seguinte tabela expressa essa propriedade:

p	q	pq
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemplo: Sejam as proposições p e q:

p: Um dos ângulos internos do triângulo ABC é de 90º.

q: As medidas do triângulo ABC satisfazem o teorema de Pitágoras.

Como p q é verdadeira e q p é verdadeira temos que  p q é verdadeira.

São utilizadas as seguintes alternativas para a leitura das proposições condicionais e bicondicionais: Condicional p q  Se p, então q. p implica q. p é uma condição suficiente para q. q é uma condição necessária para p. Bicondicional p q p se, e somente, q. p equivale a q. p é uma condição necessária e suficiente para q.

 

Revisando as operações lógicas

Operação	Conectivo	Símbolo
Conjunção	e
Disjunção	ou
Negação	não	~
Condicional	se ... então
Bicondicional	se e somente se

pq é: verdadeira, apenas quando p e q são simultaneamente verdadeiras; falsa, em qualquer outro caso. pq é: verdadeira, quando pelo menos uma das proposições é verdadeira; falsa, somente quando simultaneamente p e q são falsas. pq é: falsa, quando p é verdadeira e q é falsa; verdadeira, caso contrário. pq é: verdadeira, quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. falsa, quando as proposições p e q possuem valor-verdade distintos.